齒輪傳動(dòng)具有傳動(dòng)效率高、穩(wěn)定性好、高可靠性等優(yōu)點(diǎn)，是機(jī)械設(shè)備中最重要的傳動(dòng)形式之一。常規(guī)直齒輪重合度較低，嚙合剛度突變程度較大，從而導(dǎo)致較大的振動(dòng)噪聲，嚴(yán)重影響傳動(dòng)系統(tǒng)的綜合性能。而細(xì)高齒齒輪通過采用大齒高設(shè)計(jì)來提高重合度及齒面接觸線長度，有效降低了嚙合剛度及嚙合力波動(dòng)幅值，使得系統(tǒng)振動(dòng)噪聲水平大幅下降，在提高齒輪承載能力的同時(shí)減輕了傳動(dòng)裝置的體積質(zhì)量，因此其在重卡變速器、直升機(jī)主減速器、軍用履帶式車輛及汽車電驅(qū)橋等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。但齒輪工作環(huán)境通常較為復(fù)雜，在交變載荷的長期作用下，齒根部位極易產(chǎn)生裂紋，若未及時(shí)采取措施，其在系統(tǒng)運(yùn)行過程中將逐漸擴(kuò)展，最終導(dǎo)致輪齒的疲勞斷裂，影響系統(tǒng)的可靠運(yùn)行。因此研究細(xì)高齒齒輪在裂紋故障下的響應(yīng)特性對(duì)保證傳動(dòng)系統(tǒng)的安全平穩(wěn)運(yùn)行具有重要意義。

　　國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)裂紋故障齒輪系統(tǒng)開展了大量研究，取得了一定的成果。MA 等對(duì)含齒根裂紋直齒輪副的嚙合剛度進(jìn)行研究，在傳統(tǒng)勢能法的基礎(chǔ)上計(jì)入齒廓修形、齒間耦合等影響因素。在此基礎(chǔ)上，HUANGFU 等考慮實(shí)際工況下裂紋沿齒寬及齒高方向的擴(kuò)展形式，對(duì)含裂紋故障斜齒輪副的嚙合剛度計(jì)算模型進(jìn)行修正。YANG 等研究了裂紋張開狀態(tài)對(duì)嚙合剛度及振動(dòng)響應(yīng)的影響，結(jié)果顯示在較大裂紋深度下，相比傳統(tǒng)計(jì)算模型其求解精度顯著提高。MENG、花志鋒等計(jì)入齒面摩擦的影響，利用集中質(zhì)量模型對(duì)裂紋故障下系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行研究。QIAO 等在考慮真實(shí)裂紋擴(kuò)展路徑的基礎(chǔ)上計(jì)入傳動(dòng)軸柔性，分析了裂紋故障對(duì)齒輪系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響。LIU 等在簡化裂紋擴(kuò)展模型的基礎(chǔ)上，引入新的故障程度評(píng)價(jià)指標(biāo)，在建模過程中進(jìn)一步考慮到箱體柔性對(duì)測點(diǎn)處振動(dòng)響應(yīng)的影響。DUAN 等將集中質(zhì)量法、子結(jié)構(gòu)法及有限元法相結(jié)合，建立了含齒根裂紋故障的行星齒輪系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型，討論了齒圈厚度及邊界條件對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。以上研究均假設(shè)裂紋從齒根部位開始擴(kuò)展，YANG 等采用勢能法對(duì)齒面裂紋故障下的時(shí)變嚙合剛度進(jìn)行求解，分析了常用統(tǒng)計(jì)指標(biāo)對(duì)故障演化的敏感程度。在上述單一故障研究的基礎(chǔ)上，CAO 等提出一種齒面磨損與齒根裂紋復(fù)合故障演化分析模型，采用集中質(zhì)量法對(duì)復(fù)合故障模式下傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行求解。以上研究對(duì)裂紋故障齒輪系統(tǒng)的剛度激勵(lì)及振動(dòng)響應(yīng)特性進(jìn)行分析，且研究對(duì)象多為常規(guī)直齒輪。與常規(guī)直齒輪相比，細(xì)高齒齒輪重合度較大，在裂紋故障下其振動(dòng)信號(hào)故障特征較為微弱。針對(duì)振動(dòng)信號(hào)的不足，ZHANG 等提出采用齒根動(dòng)應(yīng)變作為故障特征載體信號(hào)，實(shí)現(xiàn)了基于內(nèi)齒圈齒根應(yīng)變的行星齒輪箱故障診斷。與振動(dòng)信號(hào)相比，齒根應(yīng)變與嚙合狀態(tài)之間具有更加直觀、明確的對(duì)應(yīng)關(guān)系，理論上能更好地反映系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)。因此，研究裂紋故障下細(xì)高齒齒輪的齒根動(dòng)應(yīng)變，對(duì)細(xì)高齒齒輪系統(tǒng)的故障診斷具有重要意義。

　　本文建立了含裂紋故障的細(xì)高齒齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，結(jié)合輪齒承載接觸分析及有限元瞬態(tài)分析得到裂紋故障下細(xì)高齒齒輪的齒根動(dòng)應(yīng)變，分析裂紋深度對(duì)細(xì)高齒齒輪齒間載荷分配及齒根動(dòng)應(yīng)變的影響。

　　一、裂紋故障細(xì)高齒齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

　　系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

　　本文以一對(duì)外嚙合細(xì)高齒齒輪副為研究對(duì)象，其參數(shù)如表 1 所示。當(dāng)齒輪副輸入轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)小于共振轉(zhuǎn)速，且負(fù)載轉(zhuǎn)矩較大時(shí)，齒側(cè)間隙及誤差對(duì)齒根動(dòng)應(yīng)變計(jì)算結(jié)果的影響較小，同時(shí)齒面摩擦對(duì)齒根應(yīng)變的變化趨勢及數(shù)值的影響均較小。因此忽略上述各因素的影響，采用集中質(zhì)量法建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型如圖 1 所示，其中 y 為嚙合線方向，P 為主動(dòng)輪，G 為從動(dòng)輪。

　　模型具有 4 個(gè)自由度，分別為主、從動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)自由度 θ_p 、θ_g 及沿嚙合線方向的平移自由度 y_p 、y_g。以各彈簧受壓方向?yàn)檎较颍瑒t齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合力可表示為：

　　式中：F_k 為彈性嚙合力，F(xiàn)_c 為粘性嚙合力，F(xiàn)_pg為齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合力，R_p、R_g 分別為主、從動(dòng)輪基圓半徑，k_m 為齒輪副時(shí)變嚙合剛度，c_m 為齒輪副嚙合阻尼系數(shù)。

　　由 D′Alembert 原理可得系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為：

　　式中：m_p 、m_g 為主、從動(dòng)輪質(zhì)量，I_p 、I_g 為主、從動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，k_py、k_gy分別為主從動(dòng)輪支撐剛度，c_py、c_gy分別為主從動(dòng)輪支撐阻尼。

　　裂紋故障齒輪副時(shí)變嚙合剛度

　　在從動(dòng)輪齒根部位引入裂紋故障，采用三維建模軟件構(gòu)建故障輪齒模型如圖 2a 所示，其中 y 軸為輪齒對(duì)稱軸方向，z 軸為齒寬方向。為研究裂紋深度對(duì)齒根動(dòng)應(yīng)變的影響，假設(shè)裂紋從齒根過渡圓角處沿直線方向進(jìn)行擴(kuò)展，且裂紋為影響到整個(gè)齒寬方向的貫通型裂紋，其中 q 為裂紋深度，分別取為 0.5、1、1.5 mm;d 為齒寬;v 為裂紋角度，其定義為裂紋擴(kuò)展方向與輪齒對(duì)稱軸方向間的夾角，取為定值 45°。為準(zhǔn)確求取裂紋故障下輪齒在載荷作用下的變形量，將輪齒從嚙入到嚙出的整個(gè)過程劃分為若干個(gè)嚙合位置，并假定齒輪材料滿足線彈性假設(shè)，采用有限元分析軟件對(duì)各嚙合位置建立分析模型如圖 2b 所示。

　　將從動(dòng)輪內(nèi)圈固定，在主動(dòng)輪內(nèi)圈施加轉(zhuǎn)矩 T 并約束各節(jié)點(diǎn)橫向自由度，定義嚙合齒面間的接觸，求解得到各嚙合位置處的主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角變形量 θ，則齒輪副沿嚙合線方向的變形量為：

　　式中：r_b 為主動(dòng)輪基圓半徑。

　　該嚙合位置的嚙合剛度為：

　　由式(5)求得不同裂紋深度下的齒輪副時(shí)變嚙合剛度如圖 3 所示。可以看出輪齒產(chǎn)生裂紋后齒根變軟，柔性增大，沿嚙合線方向的變形量增加，嚙合剛度減小，且隨著裂紋的加深，嚙合剛度降幅進(jìn)一步增大。

　　裂紋故障齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)嚙合力

　　將圖 3 所示時(shí)變嚙合剛度代入系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，采用 Newmark?β 法求解式(3)得到輸入轉(zhuǎn)速為 600 r/ min，輸入轉(zhuǎn)矩為 100 N·m 工況下含裂紋故障齒輪副的動(dòng)態(tài)嚙合力。其中 1.5 mm 裂紋深度下的嚙合力時(shí)域歷程及頻譜如圖 4 所示。可以看到從動(dòng)輪發(fā)生裂紋故障后，嚙合力時(shí)域歷程出現(xiàn)周期為 T_n2 = 1/f_n2 的沖擊成分，嚙合力均值為 2 770.7 N，與靜載荷一致。在頻域中，齒輪副嚙合頻率及其倍頻附近出現(xiàn)邊頻帶，其間隔為從動(dòng)輪轉(zhuǎn)頻 f_n2。

　　二、裂紋故障下細(xì)高齒齒輪齒根動(dòng)應(yīng)變計(jì)算

　　將嚙合齒面沿齒廓方向離散為 n 條接觸線，利用有限元分析軟件建立裂紋故障齒輪結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析模型如圖 5a 所示，其中參數(shù) n 可根據(jù)計(jì)算精度要求確定。分析模型矩陣形式為：

　　式中：M 為齒輪結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣，C 為齒輪結(jié)構(gòu)阻尼矩陣，采用比例阻尼;K 為齒輪結(jié)構(gòu)剛度矩陣，x(t)為節(jié)點(diǎn)位移列向量，F(xiàn)(t)為時(shí)變載荷列向量。

　　為便于后續(xù)分析，按圖 5b 所示方式對(duì)各輪齒進(jìn)行編號(hào)，其中從動(dòng)輪輪齒 3 為故障齒，輪齒 2 及輪齒 4 為其相鄰輪齒，輪齒 1 及輪齒 5 為其間隔輪齒。將主動(dòng)輪中與從動(dòng)輪故障齒相嚙合的輪齒記為輪齒 3，其余輪齒編號(hào)規(guī)則與從動(dòng)輪一致。

　　將圖 4a 中的時(shí)域動(dòng)態(tài)嚙合力進(jìn)行離散，代入每一子步載荷后利用輪齒承載接觸分析方法得到齒間載荷分配關(guān)系。將離散后的每一子步載荷按輪齒載荷分配率分別施加到參與嚙合輪齒的各條接觸線上，從而模擬齒輪嚙合過程，最終利用有限元分析軟件中的瞬態(tài)分析模塊求解得到齒輪結(jié)構(gòu)在時(shí)變嚙合力作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。其中輪齒載荷分配率的表達(dá)式為：

　　式中：F_ij為 t_i 時(shí)刻輪齒 j 所受載荷，K_ij為 t_i 時(shí)刻第 j 對(duì)嚙合輪齒的剛度，K_i 為 t_i 時(shí)刻齒輪副嚙合剛度，η_ij為 t_i 時(shí)刻輪齒 j 的載荷分配率。

　　三、裂紋故障下細(xì)高齒齒輪齒根動(dòng)應(yīng)變分析

　　裂紋故障齒輪副輪齒載荷分配率

　　采用輪齒承載接觸分析方法得到裂紋故障下圖 5b 中主動(dòng)輪各輪齒在 100 N·m 輸入轉(zhuǎn)矩及 600 r/ min 輸入轉(zhuǎn)速下的載荷分配率 η_ij隨主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角的變化關(guān)系如圖 6 所示，其中 a、c、e 為三齒嚙合區(qū)，b、d 為雙齒嚙合區(qū)。可以看出從動(dòng)輪發(fā)生裂紋故障后，故障齒剛度下降，其載荷分配率有所降低，如圖 6c 所示。當(dāng)故障齒參與嚙合時(shí)，其相鄰輪齒的載荷分配率在三齒及雙齒嚙合區(qū)內(nèi)均受到影響，而其間隔輪齒的載荷分配率僅在三齒嚙合區(qū)內(nèi)發(fā)生變化，且三齒嚙合區(qū)載荷分配率變幅總體上小于雙齒嚙合區(qū)。同一嚙合位置下，隨著裂紋深度的增加，各輪齒載荷分配率變幅逐漸增大。由作用力及反作用力間的關(guān)系可知，從動(dòng)輪各輪齒的載荷分配率與主動(dòng)輪對(duì)應(yīng)輪齒相同。

　　裂紋故障下從動(dòng)輪齒根動(dòng)應(yīng)變分析

　　由前述動(dòng)應(yīng)變計(jì)算方法求解得到 1.5 mm 裂紋深度下圖 5b 中從動(dòng)輪輪齒 2 在 100 N·m 輸入轉(zhuǎn)矩及 600 r/ min 輸入轉(zhuǎn)速下的齒根應(yīng)變時(shí)域歷程如圖 7 所示。可以看到齒根應(yīng)變呈周期性變化，無沖擊成分。

　　提取圖 5b 中從動(dòng)輪除故障齒外輪齒嚙合區(qū)齒根動(dòng)應(yīng)變?nèi)鐖D 8 所示，其中區(qū)域 a、c、e 為三齒嚙合區(qū)，區(qū)域 b 和 d 為雙齒嚙合區(qū)。可以看出發(fā)生裂紋故障后，在嚙合力沖擊及載荷分配率變化的共同作用下，各輪齒所受載荷在部分嚙合區(qū)間內(nèi)較無故障齒輪副有所增加，導(dǎo)致齒根應(yīng)變?cè)谙鄳?yīng)區(qū)間內(nèi)有所增大，且各輪齒齒根動(dòng)應(yīng)變與圖 6 中載荷分配率的變化形式相似。其中從動(dòng)輪輪齒 1 及輪齒 5 的齒根應(yīng)變僅在區(qū)域 a 或 e 中略大于無故障齒輪副，而輪齒 2 和輪齒 4 的齒根應(yīng)變?cè)趨^(qū)域 b 或 d 內(nèi)相比無故障齒輪副明顯增大，且在同一嚙合位置下，齒根應(yīng)變?cè)龇S裂紋深度的增加呈上升趨勢。

　　裂紋故障下主動(dòng)輪齒根動(dòng)應(yīng)變分析

　　當(dāng)故障齒與主動(dòng)輪輪齒 3 相嚙合時(shí)，提取圖 5b 中主動(dòng)輪輪齒 1 至輪齒 5 嚙合區(qū)齒根動(dòng)應(yīng)變?nèi)鐖D 9 所示。可以看出隨著嚙合過程的進(jìn)行，作用于從動(dòng)輪故障齒上的載荷有所降低，使得在整個(gè)嚙合區(qū)內(nèi)，主動(dòng)輪輪齒 3 的齒根應(yīng)變與無故障條件下相比呈降低趨勢，但在嚙合力沖擊的作用下其降幅較小。除輪齒 3 外，其余輪齒齒根應(yīng)變的變化趨勢與從動(dòng)輪對(duì)應(yīng)輪齒相似。當(dāng)主動(dòng)輪輪齒處于第二個(gè)三齒或雙齒嚙合區(qū)間時(shí)，其載荷作用點(diǎn)接近齒頂，力臂較大，在相同載荷增量作用下其齒根應(yīng)變?cè)龇^大，因此主動(dòng)輪輪齒 4 及輪齒 5 的齒根應(yīng)變?cè)龇源笥趶膭?dòng)輪相應(yīng)輪齒。類似地，輪齒 1 及輪齒 2 的齒根應(yīng)變?cè)龇孕∮趶膭?dòng)輪對(duì)應(yīng)輪齒。

　　由于從動(dòng)輪發(fā)生裂紋故障后主動(dòng)輪各輪齒齒根應(yīng)變時(shí)域歷程基本一致，此處以圖 5b 中主動(dòng)輪輪齒 3 為例，分別提取 1.0 mm 及 1.5 mm 裂紋深度下該輪齒齒根應(yīng)變時(shí)域歷程如圖 10 所示。可以看到當(dāng)從動(dòng)輪故障齒分別與圖 5b 中主動(dòng)輪輪齒 4 及輪齒 3 相嚙合時(shí)，由圖 9 可知此時(shí)主動(dòng)輪輪齒 3 齒根應(yīng)變峰值將出現(xiàn)不同程度的增大或減小，導(dǎo)致齒根應(yīng)變出現(xiàn)周期性沖擊及幅值衰減，且隨著裂紋深度的增加，上述現(xiàn)象愈明顯。其中周期 T 表達(dá)式為：

　　式中：z₁ 為主動(dòng)輪齒數(shù)，z₂ 為從動(dòng)輪齒數(shù)，n₁ 為主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速，LCM(z₁ ，z₂ )為 z₁ 與 z₂ 的最小公倍數(shù)。

　　裂紋故障下齒根應(yīng)變信號(hào)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)分析

　　由于從動(dòng)輪齒根動(dòng)應(yīng)變故障特征主要表現(xiàn)為嚙合區(qū)內(nèi)齒根應(yīng)變數(shù)值的變化，采用故障條件下嚙合區(qū)齒根應(yīng)變均方根值較無故障條件下的相對(duì)變化量來評(píng)價(jià)裂紋對(duì)圖 5b 中從動(dòng)輪各輪齒嚙合區(qū)齒根動(dòng)應(yīng)變的影響。齒根動(dòng)應(yīng)變均方根值表達(dá)式為：

　　其相對(duì)變化量為：

　　式中：X_i 為 t_i 時(shí)刻對(duì)應(yīng)齒根動(dòng)應(yīng)變，N 為采樣點(diǎn)數(shù)，X_rc 為裂紋故障下齒根動(dòng)應(yīng)變均方根值，X_rh為無故障條件下齒根動(dòng)應(yīng)變均方根值。

　　最終計(jì)算結(jié)果如圖 11 所示。可以看到在嚙合區(qū)內(nèi)，齒根動(dòng)應(yīng)變均方根值隨裂紋深度的增加呈上升趨勢，且與故障齒相鄰輪齒的均方根值增幅明顯大于其間隔輪齒。當(dāng)裂紋深度為 1.5 mm 時(shí)，從動(dòng)輪嚙合區(qū)齒根應(yīng)變均方根值相對(duì)變化量最高達(dá)到 5.34% 。

　　由于從動(dòng)輪出現(xiàn)裂紋故障后，主動(dòng)輪齒根應(yīng)變時(shí)域歷程中將出現(xiàn)周期性沖擊成分，采用對(duì)沖擊較為敏感的峰值因子指標(biāo)來評(píng)價(jià)裂紋對(duì)上述沖擊特征的影響。齒根動(dòng)應(yīng)變峰值因子表達(dá)式為：

　　其相對(duì)變化量為：

　　式中：X_p 為齒根動(dòng)應(yīng)變峰峰值，C_p 為齒根動(dòng)應(yīng)變峰值因子，C_pc為裂紋故障下齒根動(dòng)應(yīng)變峰值因子，C_ph為無故障條件下齒根動(dòng)應(yīng)變峰值因子。

　　最終計(jì)算結(jié)果如圖 12 所示。可以看到隨著裂紋深度的增加，齒根應(yīng)變峰值因子呈上升趨勢。在 1.5 mm 裂紋深度下，主動(dòng)輪齒根應(yīng)變峰值因子相對(duì)變化量達(dá)到 12.72% 。從以上結(jié)果中可以看出與從動(dòng)輪嚙合區(qū)齒根動(dòng)應(yīng)變均方根值相比，主動(dòng)輪齒根動(dòng)應(yīng)變峰值因子指標(biāo)對(duì)齒根裂紋故障表現(xiàn)出更強(qiáng)的敏感性。

　　四、結(jié)論

　　本文采用動(dòng)力學(xué)分析、輪齒承載接觸分析與有限元瞬態(tài)分析相結(jié)合的方式計(jì)算了從動(dòng)輪齒根裂紋故障下細(xì)高齒齒輪的齒根動(dòng)應(yīng)變，分析了裂紋深度對(duì)齒根動(dòng)應(yīng)變的影響，主要結(jié)論為：

　　(1)隨著嚙合過程的進(jìn)行，從動(dòng)輪故障齒載荷分配率逐漸減小，其相鄰輪齒齒根應(yīng)變?cè)谌X及雙齒嚙合區(qū)內(nèi)均有所增加，其間隔輪齒齒根應(yīng)變僅在三齒嚙合區(qū)內(nèi)有所增大。

　　(2)主動(dòng)輪齒根動(dòng)應(yīng)變故障特征主要表現(xiàn)為齒根應(yīng)變時(shí)域歷程中出現(xiàn)周期性沖擊及幅值衰減現(xiàn)象，且裂紋深度越大，上述特征愈明顯。

　　(3)隨著裂紋深度的增加，從動(dòng)輪故障齒的相鄰及間隔輪齒嚙合區(qū)齒根動(dòng)應(yīng)變均方根值及主動(dòng)輪齒根動(dòng)應(yīng)變峰值因子均呈上升趨勢，且主動(dòng)輪齒根動(dòng)應(yīng)變峰值因子指標(biāo)對(duì)齒根裂紋故障表現(xiàn)出更強(qiáng)的敏感性;在 1.5 mm 裂紋深度下，主動(dòng)輪齒根應(yīng)變峰值因子相對(duì)變化量達(dá)到 12.72% 。

　　參考文獻(xiàn)略.