斜齒輪有以下優(yōu)點：①齒面接觸線是斜線，一對齒逐漸進入和脫離嚙合，傳動平穩(wěn)、噪聲小、宜高速傳動;②重合度較大，并且重合度會隨齒寬和螺旋角的增大而增大，承載能力高;③最小齒數(shù)較少，機構更緊湊。因此，斜齒輪的應用非常廣泛，而其模型的建立也是機械產品數(shù)字化設計的重要組成部分。
SolidWorks 軟件是一個機械設計自動化應用程序，具有三維建模等功能。近十幾年來，關于漸開線斜齒輪在 SolidWorks 軟件環(huán)境下的三維建模的相關文獻有很多;有的用樣條曲線等做了近似處理; 有的在 CAXA 電子圖版中生成平面的漸開線齒形草圖;有的通過 C 語言編程或 MATLAB 或 Microsoft Excel 計算齒面的坐標數(shù)據(jù);有的利用 GearTrax 插件進行建模;有的利用 Visual Basic 對 SolidWorks 進行了二次開發(fā)。這些方法普遍都比較復雜，而且有些要依賴外部軟件、插件。基于此，筆者直接利用 Solid? Works 軟件的基本功能，包括設置全局變量和方程式驅動的曲線等，得到漸開線斜齒輪的三維模型;另外還推導出了漸開線斜齒輪的基圓槽寬半角、基圓半徑、導程和漸開線起始圓壓力角的表達式。SolidWorks 建模具有簡單、快捷、精度高、方便修改等優(yōu)點，為機械產品的快速設計奠定了基礎。
一、建模思路
漸開線斜齒輪在任意一個橫截面(垂直于軸線的平面)中的參與嚙合的齒廓都可以用漸開線函數(shù)表示，其左側或右側的漸開線齒廓的形狀僅由基圓半徑決定，分度圓上的齒厚或齒槽寬則受到基圓槽寬半角或者法向變位系數(shù)的直接影響。斜齒輪在任意兩個橫截面中的齒廓是旋轉對稱的。從一個起始橫截面開始，旋轉的角度是隨著橫截面離起始橫截面的距離均勻變化的，因此斜齒輪可以用起始橫截面的齒廓和導程完全定義。另外，齒數(shù)為 z 的斜齒輪，它的 z 個齒槽的齒廓是關于斜齒輪的軸線旋轉對稱的，且角度位置也是等間距的，相鄰的兩個齒槽相差角度為 360°/ z。因此文章考慮先用掃描切除得到一個齒槽，具體步驟為：①創(chuàng)建起始橫截面的齒廓，作為掃描切除的輪廓;②創(chuàng)建半徑不變、角度隨高度均勻變化且導程為規(guī)定值的螺旋線，作為掃描切除的路徑;③掃描切除。最后再通過等間距的圓周陣列得到所有的齒槽。
二、建模步驟
輸入全局變量
在 SolidWorks 中，進入“菜單→工具→方程式”，按表 1 所列，輸入各全局變量。注意“角度方程單位”要在“度數(shù)”和“弧度”之間選擇“弧度”。
在這 19 個全局變量中，作為參數(shù)需要輸入數(shù)值的是齒數(shù) z、法向壓力角 a、螺旋角 b、法向變位系數(shù) x、法向模數(shù) m、旋向 hand(右旋為 1，左旋為-1)、齒槽中心的角度位置 th、齒頂高系數(shù) ha、齒根高系數(shù) hf和滾刀的齒頂圓角 rho。其余的全局變量按上表中的方程式自動求解。下面給出部分較復雜的全局變量的表達式的推導過程。
基圓槽寬半角 etab 表達式的推導：按文獻，端面分度圓上的齒槽寬為(π/ 2-2xt tan αt)mt，其中 xt 為端面變位系數(shù)、αt 為端面壓力角、mt 為端面模數(shù);分度圓上的半徑為 
齒槽寬的角度為 2( etab + tan αt -αt);端面分度圓上的齒槽寬也可以通過分度圓半徑乘齒槽寬的角度得到，即：
導程 pz 表達式的推導可按文獻，考慮把分度圓上的圓柱和螺旋線展開在平面上，得到一個直角三角形，其中和軸線平行的直角邊的長度為導程 pz，和軸線垂直的直角邊的長度為 π 乘分度圓直徑 d，而斜邊和平行于軸線的直角邊的夾角就是螺旋角 b，故：
漸開線起始圓壓力角 ag 表達式的推導可按文獻，漸開線起始圓壓力角 αG 需滿足：
創(chuàng)建齒頂圓柱特征
以 Z 軸為軸線，以齒頂圓直徑 da 為直徑創(chuàng)建一個圓柱特征，如圖 1 所示，可以用“旋轉” 也可以用 “拉伸”進行創(chuàng)建。
創(chuàng)建掃描的路徑
創(chuàng)建一個3D 草圖，在此 3D 草圖中創(chuàng)建一條“方程式驅動的曲線”，如圖 2 所示。其參數(shù)方程式如表 2 所列，其中 t 為參數(shù)。
這里創(chuàng)建的曲線即螺旋線。其軸線為 Z 軸，起始的角度為 th，導程為 pz，半徑為齒根圓半徑，df/2。事實上，這里半徑不管是取齒根圓半徑還是齒頂圓半徑，只要半徑保持定值，掃描切除的效果都是一樣的，即任意一個橫截面中的齒廓和起始橫截面的齒廓都旋轉對稱，齒廓旋轉的角度隨高度按 pz 的導程均勻變化。
創(chuàng)建掃描的輪廓
創(chuàng)建掃描的輪廓步驟如下。
(1)以“前視基準面” (即包含 X 軸和 Y 軸的平面)為草圖平面創(chuàng)建一個草圖。
(2)在步驟(1)中的草圖中創(chuàng)建一條“方程式驅動的曲線”，即左側齒面的漸開線，注意方程式類型要在“顯性” 和“參數(shù)性” 中選擇“參數(shù)性”。其參數(shù)方程式如表 3 所列，其中 t 為參數(shù)。
(3)在步驟(1)中的草圖中創(chuàng)建一條“方程式驅動的曲線”，即右側齒面的漸開線，注意方程式類型要在“顯性” 和“參數(shù)性” 中選擇“參數(shù)性”。其參數(shù)方程式如表 4 所列，其中 t 為參數(shù)。
這里步驟(2)、(3)中創(chuàng)建的兩條曲線都是漸開線。齒槽中心的角度位置是 th，利用基圓槽寬半角的定義可知，左側的漸開線與基圓的交點的角度位置是 th+etab，右側的漸開線與基圓的交點的角度位置是 th -etab。按文獻，左側的漸開線曲線上，參數(shù)為 t的點的角度位置為 tan(t) -t+th+etab，和軸線的距離為 rb / cos(t)，其中 t 為正值，它就等于該點的壓力角; 而在右側的漸開線曲線上，參數(shù)為 t 的點的角度位置為 tan(t)-t+th-etab，和軸線的距離為 rb / cos(t)，其中 t 為負值，它等于該點的壓力角的相反數(shù)。
(4)在步驟(1)中的草圖中創(chuàng)建一條“方程式驅動的曲線”，即左側齒面的齒根過渡曲線，注意方程式類型要在“顯性” 和“參數(shù)性” 中選擇“參數(shù)性”。其參數(shù)方程式如表 5 所列，其中 t 為參數(shù)。
(5)在步驟(1)中的草圖中創(chuàng)建一條“方程式驅動的曲線”，即右側齒面的齒根過渡曲線，注意方程式類型要在“顯性” 和“參數(shù)性” 中選擇“參數(shù)性”。其參數(shù)方程式按表 6 所列，其中 t 為參數(shù)。
齒根過渡曲線的表達式較復雜，尤其是斜齒輪，因此很多文獻都用圓弧近似處理。雖然齒根過渡部分不參與斜齒輪的嚙合運動，但是它對于斜齒輪的輪齒根部的彎曲應力等具有重要影響。文章繪制了精確的斜齒輪的齒根過渡曲線。
以右側齒面的齒根過渡曲線的表達式為例，有：
參數(shù) t 的取值范圍是從法向壓力角 a 到 π/2。此表達式是引用文獻中的表達式并令其中的分錐角為零得到的。
(6)在步驟(1)中的草圖中，以原點為圓心，以齒根圓直徑 df為直徑創(chuàng)建一段圓弧，即齒根圓弧，連接步驟(4)和(5)中創(chuàng)建的兩條齒根過渡曲線。
(7)連接步驟(2)和(3)中創(chuàng)建的兩條漸開線的兩個外側的端點并創(chuàng)建一段圓弧使輪廓閉合，如圖 3 所示。
注意，這里漸開線內側的端點，即參數(shù) t 為 ag 或 -ag 的點，是和同側的齒根過渡曲線外側的端點，即參數(shù) t 為 a 的點剛好重合的(它就是漸開線起始點)，才能保證草圖輪廓的閉合性。
創(chuàng)建“掃描切除”的特征
創(chuàng)建一個“掃描切除”特征，在“輪廓掃描”和“實 體掃描”中選擇“輪廓掃描”。選擇“掃描切除”的輪廓為圖 3 所示的草圖，選擇“掃描切除”的路徑為圖 2 所示的 3D 草圖。掃描切除后的結果如圖 4 所示。
創(chuàng)建“圓周陣列”的特征
創(chuàng)建一個“圓周陣列”的特征，其“陣列軸”選擇Z 軸，“角度” 輸入 360°，“實例數(shù)” 輸入齒數(shù) z 的數(shù)值，并在“等間距”前面勾選。“要陣列的特征”選擇 2.5 節(jié)創(chuàng)建的“掃描切除”。至此，整個斜齒輪的建模就完成了，結果如圖 5 所示。
三、結語
文章直接利用SolidWorks 軟件的基本功能，包括設置全局變量和方程式驅動的曲線等，得到漸開線斜齒輪的三維模型。
此方法沒有依賴外部軟件、插件或二次開發(fā)，只需在全局變量中修改相應的輸入?yún)?shù)，就可以快速得到相應參數(shù)的漸開線斜齒輪的三維精確模型。此方法不僅創(chuàng)建了漸開線部分的精確曲面，還創(chuàng)建了齒根過渡部分的精確曲面(齒根過渡部分對于斜齒輪的輪齒根部的彎曲應力等具有重要影響)。所以與以往文獻相比更快捷、更方便修改、更精確，為斜齒輪零件進一步的模擬裝配、干涉檢查、運動仿真、有限元分析等奠定了基礎。
參考文獻略.