感應(yīng)加熱淬火是機(jī)械加工中一項(xiàng)至關(guān)重要的工藝。相關(guān)研究表明，傳動(dòng)零件失效的主要原因是由于表面損壞造成的，例如齒輪的失效主要源于齒面磨損、齒面點(diǎn)蝕和輪齒折斷等。因此，采用合適的工藝對(duì)零件進(jìn)行表面淬火，增加零件表面的硬度和耐磨損程度對(duì)提高機(jī)械設(shè)備的壽命和可靠性具有重要意義。感應(yīng)加熱淬火相比于傳統(tǒng)的淬火方式具有操作簡(jiǎn)便、加熱速度快、能源利用率高，更加節(jié)能環(huán)保等優(yōu)勢(shì)，因此廣泛用于我國(guó)的機(jī)床制造、汽車、工程機(jī)械和石油機(jī)械等領(lǐng)域。隨著“碳達(dá)峰、碳中和”目標(biāo)的提出，企業(yè)更加重視節(jié)能環(huán)保，此外國(guó)家針對(duì)感應(yīng)加熱也提出了相應(yīng)的電耗定額。為了實(shí)現(xiàn)更高的能源利用效率，需要借助于計(jì)算機(jī)模擬仿真技術(shù)對(duì)感應(yīng)加熱裝置進(jìn)行設(shè)計(jì)與優(yōu)化。通過(guò)電磁-熱多物理耦合仿真計(jì)算得到工件內(nèi)渦流分布和溫度場(chǎng)分布，根據(jù)溫度場(chǎng)隨時(shí)間的變化過(guò)程可以了解感應(yīng)加熱的效果，以此為依據(jù)可以對(duì)感應(yīng)加熱頻率、激勵(lì)線圈幾何形狀、激勵(lì)線圈與工件的相對(duì)位置等參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。有關(guān)感應(yīng)加熱的數(shù)值模擬方法已有很多研究，張根元等基于ANSYS模擬了感應(yīng)淬火過(guò)程中電流密度、電流頻率和加熱時(shí)間對(duì)淬火工藝參數(shù)的影響，黃軍等利用ANSYS仿真研究了不同感應(yīng)電流頻率的組合對(duì)無(wú)縫鋼管加熱速度的影響，張鵬飛等利用Maxwell 3D軟件建立了帶鋼電磁-熱耦合模型，研究了加熱線圈的電流和頻率對(duì)帶鋼溫度的影響。以上基于商業(yè)軟件的仿真分析為感應(yīng)加熱過(guò)程的優(yōu)化提供了指導(dǎo)，然而如何改進(jìn)多物理耦合計(jì)算方法，以便進(jìn)一步提高計(jì)算效率，還需要更多的研究。
本文基于自主開發(fā)的電磁及多物理仿真平臺(tái) EMPbridge，對(duì)齒輪感應(yīng)淬火中涉及的電磁-熱多物理耦合過(guò)程進(jìn)行了仿真，考慮了材料參數(shù)隨溫度的變化，采用頻域、時(shí)域相結(jié)合的方法提高了計(jì)算效率，為后續(xù)進(jìn)一步開發(fā)感應(yīng)加熱專用仿真和優(yōu)化軟件提供了參考。
一、感應(yīng)加熱過(guò)程的電磁-熱多物理耦合分析
電磁場(chǎng)數(shù)學(xué)模型：感應(yīng)加熱中涉及渦流損耗的計(jì)算，需要求解磁準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)，其微分方程形式如下：
式中：E為電場(chǎng)強(qiáng)度(V·m-1) ；H為磁場(chǎng)強(qiáng)度(A·m-1)；D為電位移矢量(C·m-2)；B為磁感應(yīng)強(qiáng)度(Wb·m-2)；ρe為電荷密度(C?m-3)；J為電流密度(A·m-2)。
由本構(gòu)關(guān)系和電流密度的定義可以得到材料特性與電磁場(chǎng)的關(guān)系：
式中：μ為磁導(dǎo)率，σ為電導(dǎo)率，本文中它們是隨溫度變化的參數(shù)，其變化曲線通常通過(guò)測(cè)量得到。
由于感應(yīng)加熱的激勵(lì)電流一般為正弦電流，假定材料參數(shù)不隨磁場(chǎng)和電場(chǎng)變化，上式可以寫為復(fù)數(shù)形式在頻域求解：
式中：帶上標(biāo)的
分別表示各場(chǎng)量的復(fù)數(shù)形式，ω為激勵(lì)電流的角頻率。
結(jié)合相應(yīng)的邊界條件，在頻域中求解以上磁準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)問(wèn)題，即可得到在感應(yīng)加熱頻率下激勵(lì)電流在齒輪工件中產(chǎn)生的渦流分布，進(jìn)而得到相應(yīng)的渦流損耗。
熱場(chǎng)數(shù)學(xué)模型：感應(yīng)加熱過(guò)程中的熱場(chǎng)由瞬態(tài)熱傳導(dǎo)方程描述：
式中：ρ為密度(kg?m-3)；Cp為比熱容(J?kg-1?K-1)；T為溫度(K)；λ為導(dǎo)熱系數(shù)(W?m-1?K-1)；Q為熱源密度(W?m-3)。熱源來(lái)自于感應(yīng)渦流產(chǎn)生的渦流損耗，其表達(dá)式為：
結(jié)合邊界條件和溫度的初始條件，在時(shí)域中求解以上熱擴(kuò)散方程，可以得到各個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)的溫度場(chǎng)分布。
電磁-熱多物理耦合過(guò)程：感應(yīng)加熱中涉及的電磁-熱多物理耦合過(guò)程為雙向耦合，即交變電磁場(chǎng)在工件中感應(yīng)出渦流，渦流損耗作為熱源引起溫度場(chǎng)的變化，溫度場(chǎng)變化進(jìn)一步引起材料參數(shù)的變化，而材料參數(shù)的變化又導(dǎo)致電磁問(wèn)題中渦流場(chǎng)分布的變化，其耦合示意圖如圖 1所示。
圖1 感應(yīng)加熱中電磁-熱雙向耦合示意圖
感應(yīng)加熱的激勵(lì)頻率在數(shù)十kHz數(shù)量級(jí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)間變化周期在數(shù)百微秒左右，而加熱時(shí)間卻需要數(shù)秒才能完成，兩者相差四個(gè)數(shù)量級(jí)，若以適應(yīng)電磁場(chǎng)變化快慢的時(shí)間步進(jìn)行離散，則總體的時(shí)間步數(shù)將過(guò)于龐大。為解決此多時(shí)間尺度問(wèn)題，在本仿真計(jì)算中，電磁場(chǎng)問(wèn)題在頻域中求解，熱場(chǎng)問(wèn)題在時(shí)域中進(jìn)行求解，其耦合求解過(guò)程如圖2所示，即首先在求解區(qū)域給定一個(gè)初始溫度分布并根據(jù)初始溫度時(shí)的材料參數(shù)計(jì)算初始時(shí)刻。(t=t0)時(shí)的頻域電磁場(chǎng)，獲得渦流分布，然后將渦流損耗作為熱源代入，計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)為△t的時(shí)域熱場(chǎng)問(wèn)題，得到t1時(shí)刻的溫度場(chǎng)分布。根據(jù)此溫度場(chǎng)分布，結(jié)合材料參數(shù)(μ，σ)隨溫度變化的曲線，可以得到t1時(shí)刻溫度變化后的材料參數(shù)。由于材料參數(shù)的變化，渦流分布也相應(yīng)變化，因此t1時(shí)刻的電磁場(chǎng)需要利用新的材料參數(shù)重新計(jì)算，并得到新的渦流損耗，以代入熱場(chǎng)方程計(jì)算下一時(shí)刻的溫度場(chǎng)分布。之后的過(guò)程依此類推，直到到達(dá)瞬態(tài)熱場(chǎng)設(shè)置的仿真時(shí)長(zhǎng)為止。
圖2 電磁-熱耦合求解過(guò)程示意圖
值得注意的是，此過(guò)程為顯式算法，即下一時(shí)間步的解可以通過(guò)前一時(shí)間步的解直接計(jì)算得到，因此時(shí)間步長(zhǎng)的取值不能太大，否則單個(gè)時(shí)間步內(nèi)溫度變化太大會(huì)導(dǎo)致材料參數(shù)無(wú)法滿足線性近似條件。同樣，時(shí)間步長(zhǎng)也不宜選取得過(guò)小，否則將增加不必要的計(jì)算量和計(jì)算時(shí)間。可根據(jù)某時(shí)刻磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率的梯度決定時(shí)間步長(zhǎng)的大小，梯度大(材料參數(shù)變化快)時(shí)時(shí)間步長(zhǎng)小，反之，時(shí)間步長(zhǎng)大。
二、齒輪淬火數(shù)值分析算例
齒輪淬火仿真模型的建立：如圖3所示，利用EMPbridge平臺(tái)建立齒輪的幾何模型。齒輪的幾何尺寸采用模數(shù)為2.5的齒輪，齒數(shù)為26，可以計(jì)算得到齒輪的直徑約為65 mm。
圖3齒輪幾何模型示意圖
齒輪的材料是常用的45#鋼，其通過(guò)測(cè)量得到磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率參數(shù)隨溫度的變化如圖4所示。
圖4 45# 鋼材料參數(shù)隨溫度的變化
對(duì)齒輪進(jìn)行網(wǎng)格剖分時(shí)，需要將渦流透入深度的大小作為網(wǎng)格剖分尺寸的參考。渦流透入深度δ由感應(yīng)加熱頻率、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率共同決定，其計(jì)算公式為：
仿真中選用的感應(yīng)加熱電流頻率為50kHz，在室溫20℃時(shí)，根據(jù)圖4查到的相對(duì)磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率可以計(jì)算得到渦流透入深度約為：0.07 mm。當(dāng)工件升溫至900℃時(shí)，由于溫度已經(jīng)高于居里溫度，工件快速退磁，相對(duì)磁導(dǎo)率下降到1左右，且電導(dǎo)率也隨溫度下降，此時(shí)的渦流透入深度增加到2.4mm左右。在透入深度范圍內(nèi)渦流幅值成指數(shù)形式下降，因此在齒輪表面透入深度范圍內(nèi)需要對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行精細(xì)剖分。如圖5所示，在齒輪的齒部進(jìn)行精細(xì)剖分，而在遠(yuǎn)離齒輪邊緣的部分采用相對(duì)較粗的網(wǎng)格剖分尺寸。
圖 5 齒輪網(wǎng)格剖分示意圖
渦流與溫度場(chǎng)的變化規(guī)律：隨著感應(yīng)加熱過(guò)程的進(jìn)行，齒輪齒部的溫度逐漸上升，而溫度的上升將引起材料參數(shù)的改變，從而導(dǎo)致渦流場(chǎng)分布產(chǎn)生變化。如圖6(a)所示，在初始時(shí)刻，溫度為室溫，渦流透入深度很淺，渦流場(chǎng)集中于齒輪邊緣。
當(dāng)齒輪齒根部位的溫度上升到700T時(shí)，此時(shí)的材料的磁導(dǎo)率到達(dá)居里溫度附近，根據(jù)圖4(b)的曲線可知，到達(dá)居里點(diǎn)后溫度的小幅升高將導(dǎo)致磁導(dǎo)率的大幅下降，此時(shí)透入深度增加，渦流場(chǎng)分布向齒輪內(nèi)部擴(kuò)散，如圖6(b)所示。
隨著感應(yīng)加熱的進(jìn)一步進(jìn)行，齒輪的整個(gè)齒部都已經(jīng)升溫至居里溫度以上，此時(shí)渦流分布再次沿齒輪外沿分布，但是透入深度增加到2.4mm左右，如圖6(c)所示。
圖6 渦流分布隨溫度的變化趨勢(shì)
由以上結(jié)果可見，渦流分布隨溫度的上升而變化，并反過(guò)來(lái)影響溫度的分布，因此感應(yīng)加熱過(guò)程需要考慮電磁-熱的雙向耦合過(guò)程。
齒輪材料參數(shù)隨溫度的變化：由于感應(yīng)加熱過(guò)程中，齒輪齒部的溫度高，而齒輪內(nèi)部的溫度低，因此齒輪不同部位的材料參數(shù)并不一致，而是與溫度場(chǎng)的分布相關(guān)。如圖7所示，在加熱過(guò)程中，溫度高的部位，磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率下降明顯，而齒輪內(nèi)部由于溫度升高不明顯，其材料參數(shù)與室溫時(shí)基本相同。對(duì)比圖6(b)和圖7可以進(jìn)一步印證1.3節(jié)中所闡述的電磁-熱雙向耦合過(guò)程。圖7中齒根部位的溫度升高導(dǎo)致此區(qū)域的磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率大幅下降，根據(jù)公式(10)可知透入深度將升高，觀察圖6(b)可以發(fā)現(xiàn)齒根部位的電流密度升高，渦流透入齒輪齒根部位。
圖 7 齒輪材料參數(shù)隨溫度的分布
三、結(jié)論
本文針對(duì)齒輪淬火加熱的實(shí)際工程問(wèn)題，對(duì)感應(yīng)加熱中涉及的多時(shí)間尺度電磁-熱多物理耦合過(guò)程進(jìn)行了剖析。在仿真中考慮了電導(dǎo)率和磁導(dǎo)率參數(shù)隨溫度的非線性變化，闡述了利用頻域-時(shí)域混合的方法對(duì)電磁-熱雙向耦合問(wèn)題進(jìn)行仿真計(jì)算的方法。通過(guò)分析仿真結(jié)果，給出了渦流場(chǎng)分布受熱場(chǎng)分布影響的規(guī)律，為齒輪感應(yīng)加熱的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了參考。
參考文獻(xiàn)略.