螺旋錐齒輪具有傳動(dòng)平穩(wěn)、承載能力大、噪聲低等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空、航天和工程機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)中。磨頭是磨床的核心部件，它不僅能承受內(nèi)齒輪和齒輪箱激振力產(chǎn)生的振動(dòng)，還要承受工作時(shí)鋼坯沖擊力產(chǎn)生的振動(dòng)。

　　磨床磨頭采用螺旋錐齒輪傳動(dòng)，齒輪副不僅產(chǎn)生復(fù)雜的接觸應(yīng)力，而且在激振力的作用下產(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)。當(dāng)激振力的頻率接近齒輪副的固有頻率時(shí)，會(huì)發(fā)生共振，產(chǎn)生嚴(yán)重的噪聲，甚至齒輪副完全失效。模態(tài)分析是分析系統(tǒng)更復(fù)雜的動(dòng)態(tài)特性的基礎(chǔ)和前提條件。為了更準(zhǔn)確地得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能結(jié)果，首先要得到符合系統(tǒng)實(shí)際情況的模態(tài)分布結(jié)果。因此，分析弧齒錐齒輪的固有振動(dòng)特性，找出其在工作狀態(tài)下的薄弱環(huán)節(jié)，通過改進(jìn)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)來避免共振的發(fā)生具有重要意義。這將提高弧齒錐齒輪的疲勞強(qiáng)度和壽命，具有重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

　　近年來，齒輪是傳動(dòng)系統(tǒng)的核心零件，中外學(xué)者針對(duì)不同應(yīng)用場(chǎng)合的齒輪嚙合對(duì)接觸、剛度和動(dòng)力學(xué)等開展了理論和實(shí)驗(yàn)研究 。Hou 等基于矢量形式內(nèi)稟有限元法，推導(dǎo)了 8 節(jié)點(diǎn)六面體單元的計(jì)算公式，并將其應(yīng)用于齒輪的接觸分析中。該方法能夠精確地分析粗糙嚙合模型下的齒輪嚙合問題，但是對(duì)于精確傳動(dòng)的齒輪力學(xué)精度尚待驗(yàn)證，而且該方法通用性不強(qiáng)。劉明勇等利用有限元軟件在考慮齒輪嚙合時(shí)會(huì)產(chǎn)生塑性變形、齒面摩擦、溫度以及材料線性強(qiáng)化等因素影響，研究了斜齒輪嚙合過程中齒面接觸力分布。楊博會(huì)等利用有限元法分析了不同幾何傳動(dòng)誤差的齒輪副的接觸應(yīng)力、承載傳動(dòng)誤差，得到在特定工況下隨著傳動(dòng)誤差的增大，邊緣接觸程度減少。紀(jì)紅等通過對(duì)弧齒錐齒輪齒面進(jìn)行接觸分析，采用磨齒的方法加工齒輪，借助三坐標(biāo)測(cè)齒對(duì)弧齒錐齒輪進(jìn)行加工和檢測(cè)，對(duì)復(fù)雜速比的弧齒錐齒輪設(shè)計(jì)和加工，提供了有效的解決方案。任海果等計(jì)算了 5 個(gè)螺旋齒輪在不同腹板厚度下的自振特性，總結(jié)了幾種基本的低階模態(tài)。Faydor 等給出了三齒弧齒錐齒輪有限元接觸分析方法。劉坤等為驗(yàn)證高壓泵斜齒輪結(jié)構(gòu)的可靠性對(duì)輪齒嚙合處的受力情況進(jìn)行靜態(tài)分析，同時(shí)為避免共振的發(fā)生進(jìn)行模態(tài)分析，得到系統(tǒng)的振動(dòng)特性和固有頻率通過分析，驗(yàn)證了結(jié)構(gòu)的合理性。李飛等分析了摩擦因數(shù)、重合度對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)幅值的影響。得到不同工況下摩擦因數(shù)不同，隨著潤(rùn)滑油的變化產(chǎn)生一定的規(guī)律。李源等利用有限元軟件分析了航空弧齒錐齒輪的嚙合過程。欒孝馳等針對(duì)某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)傳動(dòng)錐齒輪在使用中因行波共振造成的從動(dòng)輪斷裂失效問題，采用仿真分析與試驗(yàn)驗(yàn)證相結(jié)合的方法，研究弧齒錐齒輪參數(shù)調(diào)節(jié)狀態(tài)下的行波共振特性及其影響規(guī)律。李盛鵬等在考慮轉(zhuǎn)速和 傳動(dòng)力矩引起的預(yù)應(yīng)力利用 ansys 軟件對(duì)錐齒輪動(dòng)頻率進(jìn)行了分析，得出離心力和嚙合扭矩對(duì)弧齒錐齒輪的振動(dòng)頻率有一定的影響。

　　綜上所述，學(xué)者們通過實(shí)驗(yàn)、理論分析法或有限元方法對(duì)齒輪的固有頻率和振型進(jìn)行了大量的研究。但是，鮮見實(shí)際工況下動(dòng)態(tài)接觸模態(tài)分析問題的研究。因此，現(xiàn)針對(duì)某鋼鐵公司磨床的需求，設(shè)計(jì)了一套磨頭齒輪減速器，采用螺旋錐齒輪傳動(dòng)。為了保證模態(tài)數(shù)據(jù)與實(shí)際工況的一致性，應(yīng)建立磨床磨頭傳動(dòng)系統(tǒng)的精確模型，并將約束因素作為實(shí)際狀態(tài)施加在齒輪上，在進(jìn)行模態(tài)計(jì)算時(shí)，接觸模態(tài)分析將邊界條件添加到對(duì)象上，如此分析將更接近工程實(shí)際情況。利用有限元分析軟件研究穩(wěn)態(tài)工況下有、無接觸情況下的固有特性和振動(dòng)模態(tài)，為弧齒錐齒輪的疲勞壽命及設(shè)計(jì)提供可靠的理論依據(jù)。

　　一、動(dòng)力學(xué)方程及接觸模態(tài)分析理論

　　在穩(wěn)定的工作狀態(tài)下，磨床磨頭的應(yīng)力會(huì)影響因負(fù)載恒定而產(chǎn)生的固有頻率。因此，在進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)，考慮預(yù)應(yīng)力的影響是很重要的。預(yù)應(yīng)力模態(tài)計(jì)算的基本過程如下：首先進(jìn)行線性靜力分析， 然后考慮隨時(shí)間變化的荷載，以及質(zhì)量、阻尼等慣量的影響。

　　動(dòng)力學(xué)方程

　　在經(jīng)典力學(xué)理論中， n 自由度系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程為

　　式(1)中：M 為質(zhì)量矩陣；C 為阻尼矩陣；K 為剛度矩陣；F 為力向量；x 、分別為位移矢量、速度矢量和加速度。

　　不考慮阻尼效應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)將進(jìn)行自由振動(dòng)，即C= 0，F(xiàn)= 0，式(1)與式(2)等價(jià)。

　　得到特解為

　　式(3)中：φ 為自由響應(yīng)的位移振幅向量矩陣;ω 為頻率向量;t 為時(shí)間;α 為待定的值。

　　將式(3)代入式(2)中得到振型方程為

　　式(4)中：ω² 為特征值；φ 為特征向量。

　　當(dāng) φ 不為零時(shí)，式(4)是一個(gè)廣義特征值問題。

　　它也是一個(gè) n 階代數(shù)齊次數(shù)組，以 φ 的元素為變量，方程非零解的充要條件是其系數(shù)矩陣的行列式等于零，即

　　式(5)稱為式(4)特征值問題的特征方程，是關(guān)于頻率 ω² 的 n 次代數(shù)方程。當(dāng)沒有相等的根時(shí)，得到 n 個(gè)大于零的不同根 ω_0i (i = 1，2，…，n) ，即 0 < ω₀₁ < ω₀₂ < … < ω_0n 。其中，ω_0i 為振動(dòng)系統(tǒng)的第 i 階主頻率，為結(jié)構(gòu)的固有頻率，為相應(yīng)的無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)。當(dāng)將每個(gè) ω_0i (i = 1，2，…，n)代入式(4) ，可得含有 n - 1個(gè)關(guān)于 φ_i 的獨(dú)立方程的代數(shù)數(shù)組。然后，得到線性無關(guān)的非零向量 φ_i 的 n 個(gè)解式(6) 。用歸一法，得到主振型，這是一個(gè)無阻尼的振動(dòng)系統(tǒng)，因此它是實(shí)向量的固有振型。

　　特征值和特征向量是系統(tǒng)的特征參數(shù)，特征向量 φ_i 為 n 維列向量，方程(7)是一個(gè)n × n階矩陣。它是系統(tǒng)的特征向量矩陣，也稱為模態(tài)矩陣。

　　接觸模態(tài)分析

　　接觸模態(tài)是指齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在實(shí)際工況下的固有頻率和振型分布。由于介質(zhì)阻尼的存在，齒輪系統(tǒng)的模態(tài)與真空和油中的有一定的差異。接觸模態(tài)分析增加了實(shí)際情況的邊界條件，結(jié)果更接近實(shí)際工程情況。

　　在求解接觸模態(tài)的過程中，首先進(jìn)行線性靜力分析，然后得到用于結(jié)構(gòu)分析計(jì)算的應(yīng)力剛度矩陣 ( σ₀ → S )，最后利用式(8)求解接觸模態(tài)。

　　式(8)中：ω_0i 為振動(dòng)頻率;φ_i 為模態(tài)。

　　計(jì)算固有頻率和振型的方法有很多，如矩陣迭代法、子空間迭代法、lanczos 法等。Lanczos 法，可以快速?gòu)膹?fù)雜模型中提取多階模態(tài)，集成于 Ansys 中。分析后可以通過圖形顯示分析和使用結(jié)果。

　　Ansys Workbench 中接觸模態(tài)分析的一般流程和步驟如圖 1 所示。在穩(wěn)定的工作狀態(tài)下，磨床磨削頭的應(yīng)力會(huì)影響因負(fù)載恒定而產(chǎn)生的固有頻率。因此，在進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)，考慮預(yù)應(yīng)力的影響是很重要的。預(yù)應(yīng)力模態(tài)計(jì)算的基本過程如下：首先進(jìn)行線性靜力分析，然后在第一步的基礎(chǔ)上求解結(jié)構(gòu)的固有特性。

　　二、格里森螺旋錐齒輪設(shè)計(jì)與模型建立

　　為某鋼鐵企業(yè)開發(fā)的修磨頭傳動(dòng)采用的是格里森弧齒輪，首先必須確定該種復(fù)雜齒輪的各種設(shè)計(jì)參數(shù)。

　　格里森螺旋錐齒輪副的設(shè)計(jì)

　　已知輸入軸的轉(zhuǎn)矩 T₁ = 2 100 N·m，大齒輪是主動(dòng)輪，轉(zhuǎn)速 1 500 r / min，而小齒輪安裝于主軸上轉(zhuǎn)速 2 000 ～ 3 500 r / min。基準(zhǔn)齒制參數(shù)為：法向壓力角為 α_n = 20°，齒頂高系數(shù)為 h^∗_a = 0. 85，頂隙系數(shù) 為 c ^∗ = 0. 188，螺旋角 β_m = 35°。

　　齒輪由電機(jī)驅(qū)動(dòng)，兩輪軸交角 Σ = 90° ，大齒輪安裝于輸入軸一端懸臂支承，小齒輪安裝于輸出軸兩端由軸承支承于箱體上。弧齒錐齒輪的參數(shù)非常多，限于本文的篇幅和重點(diǎn)，文中忽略了參數(shù)的計(jì)算過程，最終確定的齒輪的基本參數(shù)設(shè)計(jì)出二維圖( 圖 2 ) 。建立三維圖完成裝配，如圖 3 所示。

　　格里森弧齒錐齒輪的實(shí)體模型的建立

　　格里森弧齒輪結(jié)構(gòu)復(fù)雜，為了精確模擬齒輪在工作狀態(tài)下的受力情況，必須建立合適的分析模型，以更接近實(shí)際情況。綜合考慮計(jì)算精度的影響及有限元模型的計(jì)算規(guī)模，對(duì)部分局部特征進(jìn)行了簡(jiǎn)化根據(jù)圣維南原理，對(duì)局部特征進(jìn)行了簡(jiǎn)化。對(duì)齒輪分析而言，模型的簡(jiǎn)化主要從以下方面著手：①忽略在工作過程中僅起連接作用弧齒錐齒輪與軸連接的鍵及固定螺栓和孔特征;②忽略主動(dòng)輪和被動(dòng)輪端面的螺紋、倒角特征和各處的過渡圓角，將質(zhì)量進(jìn)行等效分布。

　　三、有限元分析前處理過程

　　有限元模型的建立

　　有限元模型建立的幾個(gè)關(guān)鍵問題包括單元類型的選擇、網(wǎng)格尺寸的控制、網(wǎng)格劃分密度、單元的階數(shù)等。設(shè)置平均單元邊長(zhǎng)為 2 mm，選取網(wǎng)格劃分方式為自動(dòng)劃分。齒輪的材料為 20CrMnTi 彈性模量 E = 2. 07 × 105 MPa，泊松比 μ = 0. 254，材料密度7 830 kg / m³ 。

　　創(chuàng)建接觸對(duì)

　　在一定的工作載荷下，使格里森弧齒錐齒輪的接觸比保持在合理的范圍內(nèi)，可以使輪齒剛度的變化相對(duì)柔和，降低齒輪引起的振動(dòng)噪聲和強(qiáng)度失效的風(fēng)險(xiǎn)。

　　螺旋錐齒輪在滿負(fù)荷條件下的接觸比計(jì)算式為

　　式(9)中：ε_r、ε_α 、ε_β 分別為總重合度、端面重合度和縱向重合度。

　　齒輪副的重合度為 2.3，由重合度的要求可知弧齒錐齒輪同時(shí)參與嚙合的齒對(duì)數(shù)最多為 3 對(duì)，因此采取三齒嚙合模型進(jìn)行接觸模態(tài)分析。齒輪接觸采用實(shí)體模型為面?面接觸。設(shè)置三對(duì)接觸對(duì)，其中大齒輪為主動(dòng)輪作為接觸面，小齒輪為被動(dòng)輪作為目標(biāo)單元，摩擦系數(shù)為 0.06。

　　約束與加載

　　文中分別分析齒輪自由模態(tài)和接觸模態(tài)，前者不需要對(duì)模型施加任何約束和載荷，而接觸模態(tài)分析比前者復(fù)雜得多。根據(jù)實(shí)際工作條件，在輸入軸上施加2100 N·m的扭矩，而在主軸上施加 890 N·m 的阻力扭矩。圓柱約束施加在軸承上，這使得齒輪只能繞軸承的軸線旋轉(zhuǎn)。

　　四、格里森弧齒錐齒輪模態(tài)分析

　　無預(yù)載荷模態(tài)仿真

　　模態(tài)分析主要用于確定格里森齒輪的內(nèi)在特征，在此基礎(chǔ)上可以確定齒輪的設(shè)計(jì)是否合理，通過優(yōu)化使齒輪零件滿足生產(chǎn)對(duì)質(zhì)量和精度的要求。從軟件中得到齒輪自由模態(tài)下前 10 階固有頻率如表 1 所示。

　　每一個(gè)模態(tài)的固有頻率對(duì)應(yīng)一個(gè)振型圖，其中，自由模態(tài)分析中前 3 階是 3 個(gè)方向的剛體模態(tài)，頻率都近似為 0，僅僅是上下和左右振動(dòng)沒有實(shí)際工程意義，故在此忽略。圖 4 為第 4 ～ 第 10 階的振型圖，從頻率振型圖能夠得到以下結(jié)論：第 4 ～ 第 6 階也為剛體模態(tài)，但是他們的數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 0。第 4 階，大小齒輪各有一端軸向振動(dòng)；第 5 階，大小齒輪各有一端軸向振動(dòng)，相似于第 4 階;第 6 階大齒輪對(duì)角軸向振動(dòng)，小齒輪有一端軸向振動(dòng)；第 7 階模態(tài)其實(shí)是真實(shí)的第一階模態(tài)，大齒輪周向滾動(dòng)振動(dòng)，小齒輪左右搖擺振動(dòng)；第 8 階， 大齒輪對(duì)角軸向振動(dòng)，小齒輪有一端軸向振動(dòng);第 9 階，大齒輪周向滾動(dòng)振動(dòng)，小齒輪對(duì)角軸向振動(dòng)；第 10 階，大齒輪四端軸向振動(dòng)，小齒輪周向?qū)φ壅駝?dòng)。

　　齒輪的接觸應(yīng)力分析

　　在穩(wěn)定工作狀態(tài)下得到齒輪的等效應(yīng)力云圖和等效位移云圖分別如圖 5 (a) 和圖 5 ( b) 所示。從圖 5(a)可以看出，最大等效應(yīng)變發(fā)生在從動(dòng)輪齒面接觸處，其值為 1. 396 × 103 m。圖 5 (b) 是兩對(duì)齒嚙合的應(yīng)力云圖;由應(yīng)力的云圖可以看出，應(yīng)力主要集中在接觸部位和齒根，該位置嚙合最大應(yīng)力發(fā)生在小齒輪嚙入齒的齒根處，最大應(yīng)力值為 311. 37 MPa，小于材料的許用接觸疲勞應(yīng)力。圖 6 為大、小齒輪接觸考慮摩擦?xí)r的總接觸應(yīng)力云圖，最大接觸應(yīng)力分別為 278. 208 MPa 和 311. 37 MPa。對(duì)圖 6(a) 和 圖 6(b) 進(jìn)行比較可知，齒輪副在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，其接觸位置的應(yīng)力應(yīng)變最大，齒根應(yīng)力與接觸印痕的移動(dòng)方向一致，因?yàn)榻佑|應(yīng)力比齒根應(yīng)力大許多，所以齒根應(yīng)力顯示不明顯。

　　齒輪的接觸模態(tài)分析

　　通常情況下，低階固有頻率的振動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力性能影響很大，而遠(yuǎn)離振源的模態(tài)頻率對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的實(shí)際貢獻(xiàn)很小。因此，在進(jìn)行滿足工程需要的接觸模態(tài)分析時(shí)，通常可以提取系統(tǒng)的前 6 階固有頻率和相應(yīng)的振型。

　　在靜力分析的基礎(chǔ)上，對(duì)螺旋錐齒輪副進(jìn)行了接觸模態(tài)分析，得到了相關(guān)的頻率和振型(表 2)和齒輪副的前 6 階振型如圖 7 所示。與自由模態(tài)分析的結(jié)果進(jìn)行了比較，得出如下結(jié)論。

　　(1)在預(yù)應(yīng)力狀態(tài)下，齒輪副的固有頻率略有增加，各階振動(dòng)模態(tài)與未施加預(yù)應(yīng)力時(shí)相似。接觸模態(tài)狀態(tài)下，對(duì)齒輪的動(dòng)態(tài)特性影響不大。第 1 階為主動(dòng)齒輪和被動(dòng)齒輪的圓周振動(dòng)和滾動(dòng)振動(dòng)，被動(dòng)齒輪的徑向振動(dòng)和拉伸振動(dòng);第 2 階是被動(dòng)齒輪一端上下振動(dòng);第 3 階是被動(dòng)齒輪從一側(cè)振動(dòng)到另一側(cè);第 4 階為被動(dòng)齒輪振動(dòng)向相對(duì)方向折疊;第 5 階是被動(dòng)齒輪沿 4 個(gè)方向扭轉(zhuǎn)和沿周向折疊振動(dòng);第六階是驅(qū)動(dòng)齒輪在 6 個(gè)端部伸縮振動(dòng)，被動(dòng)齒輪在圓周方向振動(dòng)折疊。

　　(2)在自由模態(tài)下，第 7 階和第 8 階的頻率非常接近，與 1 階和 2 階頻率相當(dāng)，因此很容易引起共振現(xiàn)象。接觸模態(tài)時(shí)，2 階和 3 階頻率非常接近，容易發(fā)生共振。因此，在進(jìn)行齒輪設(shè)計(jì)時(shí)，外部激勵(lì)和嚙合內(nèi)力引起的頻率區(qū)域應(yīng)盡量避免以上區(qū)域。

　　(3)系統(tǒng)固有頻率與結(jié)構(gòu)剛度矩陣、質(zhì)量矩陣有關(guān)。本文中，載荷對(duì)質(zhì)量矩陣的影響可以忽略，頻率隨著結(jié)構(gòu)剛度的增大而提高。

　　(4)通過齒輪回轉(zhuǎn)頻率公式 fr=n/60 和嚙合振動(dòng)頻率公式 fh=nZ/60，可得出該齒輪內(nèi)部激勵(lì)不會(huì)使齒輪自身產(chǎn)生劇烈振動(dòng)。

　　五、結(jié)論

　　對(duì)格里森弧齒錐齒輪進(jìn)行了自由模態(tài)和接觸模態(tài)分析。對(duì)格里森弧齒錐齒輪在穩(wěn)態(tài)工況下的模態(tài)進(jìn)行了分析，得出了齒輪的接觸應(yīng)力和前 6 階振型及固有頻率，得出以下結(jié)論。

　　(1)對(duì)螺旋錐齒輪模型進(jìn)行了靜力學(xué)分析，驗(yàn)證了其結(jié)構(gòu)的合理性。弧齒錐齒輪的應(yīng)力和變形主要集中在接觸區(qū)，其次是齒根區(qū)的受壓側(cè)和受拉側(cè)，齒根裂紋后，有裂紋時(shí)的最大位移大于無裂紋時(shí)的最大位移;小裂紋對(duì)接觸應(yīng)力影響不大，切削刃應(yīng)力集中導(dǎo)致齒根應(yīng)力值突變，裂紋尖端附近的應(yīng)力值比無裂紋時(shí)大。傳動(dòng)開始嚙合時(shí)，齒輪嚙合的最大應(yīng)力出現(xiàn)在輪齒根部。弧齒錐齒輪副的接觸比大，前端承載三個(gè)齒，微小裂紋對(duì)應(yīng)力值影響不大。

　　(2)分析了接觸工況的齒輪系統(tǒng)固有頻率和振動(dòng)模型。與自由模態(tài)分析相比，外載荷不是影響模態(tài)的關(guān)鍵因素，但其影響不容忽視。固有頻率隨結(jié)構(gòu)剛度的增加而增加。接觸模態(tài)的一階頻率為 389.2 Hz，高于弧齒錐齒輪的穩(wěn)態(tài)工作頻率，因此不會(huì)出現(xiàn)共振現(xiàn)象，弧齒錐齒輪的設(shè)計(jì)具有較好的動(dòng)態(tài)特性。模態(tài)分析結(jié)果弧齒錐齒輪動(dòng)力學(xué)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和進(jìn)一步研究提供了理論依據(jù)，同時(shí)也為齒輪的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和噪聲控制提供了參考依據(jù)。

　　參考文獻(xiàn)略